Аналитический метод расчёта пологих трёхслойных оболочек на основе решения Навье

Представлен аналитический метод расчёта трёхслойных пологих оболочек с лёгким заполнителем на основе решения Навье. Рассмотрены оболочки, шарнирно опёртые по прямоугольному контуру. На основе принятых кинематических гипотез и уравнений трёхмерной теории упругости выведена система разрешающих дифференциальных уравнений относительно функций прогиба, напряжений и усреднённых перемещений. Для решения этой системы предложен метод точного аналитического решения путём разложения неизвестных функций и нагрузки в двойные тригонометрические ряды, аналогичный классическому подходу Навье.Метод апробирован на примере оболочки в форме эллиптического параболоида под равномерной нагрузкой. Показана высокая сходимость рядов уже при небольшом числе членов. Результаты аналитического расчёта продемонстрировали хорошее согласование с данными, полученными численно методом конечных разностей. С использованием разработанного метода проведён параметрический анализ влияния модуля сдвига заполнителя на напряжённо- деформированное состояние конструкции. Установлено, что снижение модуля сдвига (при ползучести) приводит к перераспределению внутренних усилий: уменьшаются поперечные силы и изгибающие моменты, но возрастают продольные и сдвигающие усилия. В результате эквивалентные напряжения в верхней обшивке могут увеличиваться до 19%, что необходимо учитывать для обеспечения долговечности конструкций. Предложенный метод является эффективным инструментом для анализа напряженно-деформированного состояния трёхслойных оболочек.

1. Власов В.З. Избранные труды: [в 3 т.] / Акад. наук СССР. Тонкостенные пространственные системы. М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1964. 472 с.

2. Goldenveizer A.L. Theory of elastic thin shells //Naval Engineers Journal. 1962. Т. 74. №. 3. – С. 582. https://doi.org/10.1111/j.1559-3584.1962.tb04855.x

3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.:Наука, 1966. 636 с.

4. Plantema F.J. Sandwich Construction: The Bending and Buckling of Sandwich Beams, Plates, and Shells. New York: John Wiley & Sons, 1966. 280 с.

5. Алфутов Н. А. Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

6. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered plates and shells: a unified compact formulation with numerical assessment and benchmarking //Archives of Computational Methods in Engineering. 2003. Т. 10. №. 3. С. 215-296. https://doi.org/10.1007/BF02736224

7. Reddy J. N. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. CRC press, 2003. 830 с.

8. Zenkour A. M. A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: Part 1—Deflection and stresses //International journal of solids and structures. 2005. Т. 42. №. 18-19. С. 5224-5242. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.02.015

9. Kattimani M. A., Hussain S. M., Khasge P., Mohrir S., Suman S., Masum, H. Utilizing finite element analysis to evaluate the monitoring of sandwich beam conditions //Brazilian Journal of Development. 2024. Т. 10. №. 4. С. e68942. https://doi.org/10.34117/bjdv10n4-032

10. Бакулин В. Н. Эффективная трехмерная оболочечная модель для послойного исследования напряженно-деформированного состояния трехслойных нерегулярных цилиндрических оболочек //Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2024. №. 3. С. 64-70. https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-10

11. Ying Z. G., Ruan Z. G., Ni Y. Q. Parametrically excited instability of periodic visco-elastomer sandwich plate with supported masses under quadrilateral longitudinal harmonic excitations //International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2023. Т. 23. №. 05. С. 2350050. https://doi.org/10.1142/S0219455423500505

12. Jafari N., Azhari M. Creep instability analysis of viscoelastic sandwich shell panels //Mechanics of Time- Dependent Materials. 2024. Т. 28. №. 1. С. 65-79. https://doi.org/10.1007/s11043-024-09673-9

13. Kumar N., Panda S. Analysis of static and dynamic stability of an axially loaded sandwich beam with 2–2 or 1–3 viscoelastic composite core layer //Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2025. Т. 47. №. 11. С. 561. https://doi.org/10.1007/s40430-025-05882-6

14. Гатиев М. Ш., Аюбов Н. А., Клюев С. В., Литвинов, С. В. Влияние деформаций сдвига на напряженно-деформированное состояние железобетонных плит // Системные технологии. 2023. Т. 49. № 4. С. 100-108. https://doi.org/10.55287/22275398_2023_4_100

15. Магомедов М.А., Кузнецов В.В., Языев, Б.М., Литвинов С.В. Численно-аналитический метод в решении задачи ползучести пологой оболочки //Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. 2025. Т. 52. №. 2. С. 190-200. https://doi.org/10.21822/2073-6185-2025-52-2-190-200

16. Schoeftner J. A verified analytical sandwich beam model for soft and hard cores: comparison to existing analytical models and finite element calculations //Acta Mechanica. 2023. Т. 234. №. 6. С. 2543. https://doi.org/10.1007/s00707-023-03497-3

17. Njim E. K., Bakhy S. H., Al-Waily M. Analytical and numerical flexural properties of polymeric porous functionally graded (PFGM) sandwich beams //Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering. 2022. Т. 110. №. 1. С. 5-15. https://doi.org/10.5604/01.3001.0015.7026

18. Sala B. et al. Creep behaviour of eco-friendly sandwich composite materials under hygrothermal conditions //Composites Part B: Engineering. 2022. Т. 247. С. 110291. https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2022.110291

19. Silva T., Correia L., Dehshirizadeh M., Sena-Cruz J. Flexural creep response of hybrid GFRP–FRC sandwich panels //Materials. 2022. Т. 15. №. 7. С. 2536. https://doi.org/10.3390/ma15072536

20. Li W., Xia R., Li X., Huo M., Xu J. Life evaluation of sandwich panels based on coupled creep and fatigue damage evolution //International Journal of Fatigue. 2022. Т. 159. С. 106819. https://doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2022.106819

21. Sala B., Gabrion X., Jeannin T., Trivaudey F., Guicheret-Retel V., Scarpa F., Placet V. Effect of hygrothermal ageing on the shear creep behaviour of eco-friendly sandwich cores //Composites Part B: Engineering. 2022. Т. 231. С. 109572. https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2021.109572

22. Chepurnenko A. S. Stress-strain state of three-layered shallow shells under conditions of nonlinear creep //Magazine of Civil Engineering. 2017. №. 8 (76). С. 156-168. https://doi.org/10.18720/MCE.76.14

23. Андреев В. И., Языев Б. М., Чепурненко А. С., Литвинов С.В. Расчет трехслойной пологой оболочки с учетом ползучести среднего слоя //Вестник МГСУ. 2015. №. 7. С. 17-24.

24. Chepurnenko A., Mailyan L., Jazyev B. Calculation of the three-layer shell taking into account creep //Procedia Engineering. 2016. Т. 165. С. 990-994. https://doi.org/10.1016/j.proeng.2016.11.81